Die ägyptische Knotenschnur
Abbildung via Wikimedia Commons
Die "Ägyptische Knotenschnur" wird auch als
Zwölfknotenschnur, 13-Knotenschnur, Maurerdreieck, Bauwinkel, Winkeldreieck, "3-4-5-Dreieck" bezeichnet. Etwas verwirrend erscheint zunächst die Bezeichnung als 12- bzw. 13-Knotenschnur.
Die Verwirrung lässt sich dadurch lösen, dass nicht die Anzahl der Knoten, sondern die 12 Längenabschnitte maßgeblich sind. Bei der "12-Knotenschnur" fallen Anfangs- und Endknoten aufeinander - das Seil ist zur Schlaufe verbunden.
Ein mit der Schnur gebildetes Dreieck mit den Seitenlängen 3-4-5 ergibt ein rechteckiges Dreieck (Pythagoras: 3²+4²=5²). Die Knotenschnur wurde bereits in Ägypten (daher der Name) für die Geometrie im Gelände verwendet.
Ein aus der ägyptischen Kontenschnur "... gebildeter Kreis hat einen Durchmesser von knapp einem Drittel (genauer einem Pi-tel) der Schnurlänge, und der Winkelabstand benachbarter Punkte beträgt vom Kreismittelpunkt aus gesehen genau 30 Bogengrad. Das aus der Schnur gebildete gleichseitige Dreieck hat eine Basislänge von einem Drittel der Schnurlänge sowie drei Eckwinkel von genau 60 Bogengrad."
Somit kann die Knotenschnur nicht nur zur Konstruktion eines rechten Winkels im Gelände dienen. Man kann damit auch Strecken halbieren, dritteln, vierteln und sechsteln (s.Abb.). In der Abbildung ist ersichtlich, dass bei der Streckenteilung eigentlich ein 13. Knoten am Ende des Seiles Sinn macht.
Herstellungstipps
Nehmt eine (etwas stabilere, aber nicht zu dicke) Schnur und teilt diese durch Knoten in 12 gleich lange Abschnitte ein. Ich habe die Abschnitte für die Schüler bewusst verschieden lang gewählt, damit die Allgemeingültigkeit des Verfahrens deutlich wird - und man im Anschluss mit verschiedenen gemessenen Längen den Pythagoras nachweisen kann.
Schnurvarianten (je 5 Exemplare)
- 12 Abschnitte mit jeweils 25 cm (Gesamtlänge der Knotenschnur dadurch 3 Meter)
- 12 Abschnitte mit jeweils 30 cm (Gesamtlänge der Knotenschnur 3,60 Meter)
- 12 Abschnitte mit jeweils 40 cm (Gesamtlänge der Knotenschnur 4,80 Meter)
- 12 Abschnitte mit jeweils 50 cm (Gesamtlänge der Knotenschnur 6 Meter)
.
Somit stehen 20 Knotenschnüre zur Verfügung. Damit diese möglichst präzise und für mehrere Jahre verwendbar sind, ist das Lehrerarbeit. Die Knotenschnüre bewahre ich mit Haargummis zusammengebunden in Ziptüten "verwurschtelungsfrei" auf.
Aufgabe für jeweils 4 Schüler (einer pro "Ecke" + ein Zeichner): Konstruiert ein rechteckiges "Blumenbeet", bzw. den Rahmen für eine Baugrube auf den Hof. Spannt die Knotenschnur so zu einem Dreieck, dass sich auf einer Seite 3 Abschnitte, auf einer 4 und auf der dritten Seite 5 Abschnitte befinden und die Endknoten sich wieder berühren. Der Zeichner umfährt dann das gespannte Dreieck auf den Schulhof mit Kreide. Dann muss die Schnur nochmals so gespannt werden, dass die längste Seite auf der gezeichneten längsten Seite liegt und sich beim Spannen nun ein Rechteck ergibt.
Konstruiert zwei verschieden große Rechtecke. Messt die Seitenlängen und notiert diese.
Die gemessenen Seitenlängen dienen später im Klassenzimmer zum Rechnen mit dem Satz des Pythagoras.
Linktipps zur Knotenschnur
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mathematik-bildung-rp-de-Vom_rechten_Seilspannen-pdf
Vom rechten Seilspannen. Unterrichtseinheit zum Satz des Pythagoras
❱22Q1❱ ➜
chatta-ch-mit-003_2000-pdf
Die Schnurvermessung im mittelalterlichen Bauwesen von Rudolf Moosbrugger-Leu, 32 Seiten PDF
❱22Q1❱ ➜
vermessungsgeschichte-de-Knoten-pdf
Helmut Minow: Vemessungen mit der Zwölfknotenschnur und anderen historische Konstruktionen mit dem Meßseil, Dortmund 1992. 25 Seiten PDF. Darin wird auch beschrieben, wie mit der Knotenschnur Ellipsen, Quadrate, Rechtecke, Fünfecke... konstruieren lassen.
❱22Q1❱ ➜
de.wikipedia.org-Pythagoreisches_Tripel
Pythagoreische Tripel bezeichnen die drei natürlichen Zahlen, die als Längen der Seiten eines rechtwinkeligen Dreiecks vorkommen können.
Auf dieser Wikipedia-Seite werden weitere Tripel angegeben und die Methode zu deren Berechnung erläutert.
Der einfachste Pythagoreische Tripel ist 3-4-5, denn 3
2 + 4
2 = 5
2
weitere (primitive) Tripel (geordnet nach der längsten Seite c):
(3, 4, 5) (5, 12, 13) (8, 15, 17) (7, 24, 25)
(20, 21, 29) (12, 35, 37) (9, 40, 41) (28, 45, 53)
(11, 60, 61) (16, 63, 65) (33, 56, 65) (48, 55, 73)
(13, 84, 85) (36, 77, 85) (39, 80, 89) (65, 72, 97)
(20, 99, 101) (56, 90, 106) (60, 91, 109) (15, 112, 113)
(44, 117, 125) (88, 105, 137) (17, 144, 145) (24, 143, 145)
(51, 140, 149) (85, 132, 157) (119, 120, 169) (52, 165, 173)
(19, 180, 181) (57, 176, 185) (104, 153, 185) (95, 168, 193)
(28, 195, 197) (84, 187, 205) (133, 156, 205) (21, 220, 221)
(140, 171, 221) (60, 221, 229) (105, 208, 233) (120, 209, 241)
(32, 255, 257) (23, 264, 265) (96, 247, 265) (69, 260, 269)
(115, 252, 277) (160, 231, 281) (161, 240, 289) (68, 285, 293)
Primitive pythagoreische Tripel (a,b,c) sind solche, für die a, b und c keinen gemeinsamen Teiler außer 1 haben.
Durch Multiplikation der Tripelzahlen (Verdoppelung, Verdreifachung ...) ergeben sich weitere Tripel. Die Liste ist nicht vollständig.
Weitere siehe Link zur Wikipedia. Dort sind auch die Berechnungsmethoden beschrieben.
Darstellung der pythagoreischen Tripel als Suchdiagramm im Koordinatensystem. Nicht-primitive Tripel (Vielfache) ergeben eine Parallelenschar zu den primitiven Tripeln.
Wikipedia-Artikel zu Pythagoras
Links zu Pythagoras
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cut-the-knot
Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles - Hier sind nicht weniger als 29 Beweise des Satzes von Pythagoras zusammengestellt. Zusätzlich gibt es eine kleine Liste mit weiterführenden Links
❱23Q1❱ ➜
geogebra-org-m-hxmjvqa7
Newton meets Pythagoras - Satz des Pythagoras per Schwerkraft dargestellt.
❱:❱ ➜
lehrerfortbildung-bw-mathematik-pythagoras
Satz des Pythagoras - Leiterproblem von Romeo und Julia. Leichter zu rechnen jedoch mit 3 Meter Abstand von der Wand, weil 3² + 4² = 5²
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lehrerfortbildung-bw-mathematik-5legespiel
Satz des Pythagoras - Legespiel - Vorlage
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math.uni-bielefeld-ringel-puzzle
Auch die ähnlichen Kringel, Halbkreise, Fünfecke usw. über den Kathethen eines rechtwinkligen Dreiecks sind flächengleich.
Links
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dynageo
EUKLID-Dynageo ist ein Computerprogramm zur beweglichen Geometrie". Es ermöglicht die Erstellung von dynamischen Zeichnungen, in denen Punkte nachträglich verschoben werden können, ohne dass die bei der Erstellung der Zeichnung festgelegten Zusammenhänge zwischen den geometrischen Objekten verloren gehen. Das Programm ist Shareware - eine Schullizenz ist erschwinglich.
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geogebra-cms
GeoGebra ist eine kostenlose und plattforumunabhängige dynamische Mathematik Software für Schulen, die Geometrie, Algebra und Analysis verbindet. Das Java-Programm läuft ohne Installation online. - evtl. wird noch eine Java-Runtime installiert. GeoGebra hat bereits mehrere internationale Preise gewonnen, darunter der europäische und deutsche Bildungssoftware Preis
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geometria-funktionen
Applet zur Konstruktion geometrischer Figuren
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geometrie-studio
Von der Darstellung einfacher Grundformen wie Dreiecke oder Quadrate bis hin zur Kombination mehrerer Funktionsterme findet man hier ein breites Spektrum interaktiver, geometrischer Anwendungen
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Geometrische Körper - Sterne, Plygone usw als Schnittmuster
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mathe-werkstatt-index1
Dynamische Geometrie
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Downloadseite für Programme und Übungsblätter / Arbeitsblätter
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Schnittvorlagen für geometrische Körper
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Reihe "Mathematik Methoden" zum Download: gleichungen-pythagoras-vierecke-dreieckskonstruktionen-winkel-geometrischefiguren-prozentrechnen-statistik-zeit
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GEONEXT. Geometrieprogramm um geometrische Konstruktionen am Bildschirm anzufertigen
Filme zum Pythagoras
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Korkator: Wie weit ist es zum Horizont? - musikalisch erklärt und berechnet in 4'50"
Platonische Körper
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3quarks.com/de/PlatonischeKoerper/index
Platonische Körper
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A walk in the polyhedra world: Plato's five regular polyhedra
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Dual morphing of the regular polyhedra
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Cluster (Physik) Wikipedia
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Die fünf Platonischen Körper